3.6.2 Плоский трикутний елемент

3.6.2 Плоский трикутний елемент

Розглянемо плоский трикутний елемент, обмежений вузлами i, j, k (рисунок 84).

 

Рисунок 84 – Плоский трикутний елемент

Поле переміщень усередині елемента інтерполюємо поверхнями першого порядку

(203)

Параметри ?1, ?2, ?3, і ?1, ?2, ?3 визначаються з умов:

(204)

(205)

або в матричній формі запису:

(206)

(207)

Визначаючи з формул (206) і (207) невідомі параметри a1, a2, a3,

b1, b2, b3 і підставляючи їх (203), отримаємо:

(208)

(209)

де введені позначення:

(210)

(211)

(212)

(213)

Величина ? з точністю до знака дорівнює площі трикутного елемента.

Вирази (208) і (209) у матричній формі мають вигляд

(214)

де Ф1, Ф2, Ф3 – функції форми елемента (рисунок 85):

(215)

(216)

(217)

Матриця диференціювання

(218)

Матриця Коші (67)

(219)

що в результаті дає

(220)

Матриця закону Гука

(221)

де Е,  – модуль пружності й коефіцієнт Пуассона матеріалу елемента.

Матриця жорсткості елемента

(222)

де інтегрування ведеться по всій площі елемента.

Матриця В не є функцією координат х, у, тому

(223)

Матриця інерції елемента:

(224)

 

Рисунок 85 – Функції форми плоского трикутного елемента