3.4.4.Методика застосування математичного планування експерименту для дослідження технологічних систем

Застосування математичних методів планування експерименту зменшує об’єм експериментальних досліджень за рахунок зростання обсягу роботи з обробки результатів досліджень. На всіх етапах математичного планування здійснюється статистична перевірка гіпотез: чи досліди відтворювані, чи коефіцієнти моделі суттєві, чи модель адекватна до експериментальних даних. Для їх застосування план факторного експерименту повинен задовольняти низку вимог:

досліджувані фактори повинні бути керованими, вимірюваними та незалежними;

зміни показника функції відгуку повинні легко визначатись;

при кожній комбінації факторів реалізується серія паралельних дослідів.

При плануванні експерименту виділяються такі логічні етапи, як послідовна постановка задач, висування гіпотез, їх прийняття чи відкидання зі застосуванням методів статистичного аналізу. Загальна методика застосування математичного планування експерименту для побудови математичної моделі досліджуваного явища чи процесу включає такі етапи:

Вибір показника досліджуваного процесу, тобто функції відгуку.

Визначення факторів впливу, меж їх зміни, кодування.

Визначення кількості паралельних дослідів в одній серії та побудова матриці експерименту.

Перевірка відтворюваності дослідів за допомогою статистичного критерію Кохрена.

Визначення коефіцієнтів полінома для побудови лінійної моделі.

Перевірка значущості коефіцієнтів полінома за допомогою статистичного критерію Стьюдента.

Перевірка адекватності моделі за допомогою статистичного критерію Фішера.

Перехід від моделі в просторі кодованих змінних до моделі в натуральному просторі змінних.

Якщо лінійна модель виявиться неадекватною, то поліном доповнюється елементами, що задають можливі варіанти взаємодії факторів впливу. При цьому лінійна модель спочатку доповнюється до неповної квадратичної, після чого пункти 5-7 повторюються. Якщо ж і ця модель буде неадекватною, то поліном доповнюється елементами, що описують ефекти від впливу дії факторів у квадраті, потім знову повторюються пункти 5-7.

Цю методику математичного планування експерименту розглянемо на прикладі визначення коефіцієнтів моделі, що описує стійкість різця залежно від швидкості різання, подачі, глибини різання та величини зношування різця по задній поверхні.

Приклад. Стійкість різця від режимів різання задається розширеним законом Тейлора:

де Т — стійкість різця, хв; t — глибина різання, мм; s — подача, мм/об;

V — швидкість різання, м/хв.; h — величина зношування на задній поверхні, мм.

Щоб спростити побудову моделі, перейдемо від багатофакторного натурального простору до багатофакторного логарифмічного простору. В цьому випадку ми можемо лінеаризувати модель, спростити матрицю експерименту та відповідно зменшити кількість дослідів, необхідних для побудови моделі. Вихідна залежність набуде вигляду

або після заміни змінних представлятиме лінійну модель

Побудуємо модель для випадку обробки сталі 40Х різцем із механічним кріпленням пластинки з твердого сплаву Т15К6. Межі зміни досліджуваних режимів різання: V = 163-250 м/хв.; s = 0,2-0,4 мм/об; t = 1-3мм; h = 0,2 - 0,3 мм. Межі зміни лінеаризованих технологічних режимів:

Дані про технологічні режими в натуральному та логарифмічному вигляді зведемо для зручності в табл. 3.11.

Таблиця 3.11

Кодування технологічних факторів здійснимо за формулами:

Для проведення експериментальних досліджень необхідно вибрати певну кількість паралельних дослідів, щоб перевірити відтворюваність дослідів. Враховуючи добру контрольованість технологічних режимів та досконалість методики визначення періоду стійкості різців, виберемо мінімально допустиму кількість — два паралельні досліди.

Для побудови матриці експерименту врахуємо, що лінійна модель має п’ять невідомих: Для її побудови буде достатньо використати дробовий план експерименту типу ДПЕ = 24-1 , що будується на основі повного факторного плану для трьох факторів (див. табл. 3.12).

Перевірка відтворюваності дослідів. Здійснюється за результатами паралельних дослідів. Спочатку визначають середнє арифметичне для паралельних повторень кожного досліду (j = 1,2, ..., N) та дисперсію розсіяння результатів кожного досліду

де m — число паралельних повторень кожного досліду, m = 2; N— число дослідів в експерименті; k— номер паралельного повторення досліду; j — номер досліду в матриці планування.

Таблиця 3.12

Розраховані за цими виразами значення містяться у відповідних стовпчиках табл. 3.11. Дисперсії в кожному із дослідів за даними його паралельних повторень становитимуть:

Досліди вважатимуться відтворюваними, якщо обчислене значення критерію Кохрена G буде менше від табличного Знайдемо значення критерію Кохрена за даними останнього стовпчика табл. 3.11:

Обчислене значення статистичного критерію порівнюється із табличним значенням критерію Кохрена Gr взятого зі статистичних таблиць залежно від ступеня вільності паралельних дослідів f= m - 1 = 1, кількості серій дослідів або вибірок N = 8 та рівня значущості, тобто ризику помилитися ? = 0,05 або ? = 0,01. Табличне значення для цих умов = 0,6798 (див. додаток). Оскільки виконується умова бо

3331< 0,6798, то досліди вважаються відтворюваними.

Обчислення коефіцієнтів моделі за експериментальними даними. Лінеаризована модель із кодованими значеннями факторів має такий вигляд:

Коефіцієнт визначає загальне середнє всіх дослідів і задає центр багатофакторного простору:

Дисперсія загального середнього що задає похибку його визначення дорівнює середній для всіх дослідів дисперсії відтворюваності

Коефіцієнти полінома що характеризують ефекти впливу факторів X1, X2, X3, Х4 на функцію відгуку у, обчислюються стосовно значення загального середнього. В основу обчислень покладемо наступні міркування, які деталізуємо на прикладі фактора X1.

Якщо фактор X1 міститься на нижньому рівні X1 = - 1 при дослідах №1, 3, 5, 7, то інші фактори містяться однакову кількість разів як на рівні -1, так і на рівні +1, тобто вони в сумі не впливають на середнє значення цих чотирьох дослідів. Те саме відбувається, коли фактор X1 міститься на рівні +1. Отже, різниця між середнім значенням чотирьох парних дослідів та чотирьох непарних являтиме собою чистий ефект від дії фактора X1. Застосувавши аналогічні міркування для визначення чистих впливів усіх інших факторів, запишемо вирази для визначення коефіцієнтів їх впливів на функцію відгуку:

Отримаємо

Перевірка значущості коефіцієнтів полінома. Вплив деяких досліджуваних факторів на показник досліджуваного процесу може виявитися незначним. Тоді таким показником доцільно знехтувати. Для цього необхідно для кожного коефіцієнта провести тестування Стьюдента, тобто обчислити похибку його визначення як нормоване відхилення за допомогою його дисперсії та порівняти її з похибкою загального середнього визначеною за допомогою дисперсії відтворюваності дослідів Це тестування передбачає обчислення статистичного критерію Стьюдента St та його порівняння із табличним значенням (табл. Д.4 додатка).

Спочатку визначаємо похибку обчислення коефіцієнтів полінома постійну для всіх коефіцієнтів

Як бачимо, похибка обчислення коефіцієнтів полінома не залежить від значень цих коефіцієнтів. Похибка зменшується при зменшенні ступеня розсіяння значень паралельних дослідів, при зростанні загальної кількості дослідів N та числа паралельних повторень m кожного з них.

Значення критерію Стьюдента обчислюється для кожного із коефіцієнтів за виразом

За таблицями St- розподілу Стьюдента (див. табл. Д.4 додатка) знаходимо значення критерію Стьюдента для ступеня вільності отриманої моделі

при рівні значущості ? = 0,05. Табличне значення = 2,31.

Для перевірки суттєвості впливу кожного з чотирьох факторів на функцію відгуку обчислимо для кожного коефіцієнта полінома значення критерію Стьюдента. Дисперсія відтворюваності дає змогу визначити похибку загального середнього значення

Похибка обчислення коефіцієнтів полінома

Знайдемо значення критерію Стьюдента для кожного з коефіцієнтів полінома:

Якщо обчислене значення менше від табличного, то гіпотеза про несуттєвість впливу даного фактора на функцію відгуку приймається, а його коефіцієнт вважається рівним нулеві. В отриманій моделі таким коефіцієнтом є b4 = 0. що свідчить про малий вплив фактора Х4 (зношування на задній поверхні в межах 0,2 - 0,3 мм) на стійкість. Для подальшого розгляду залишається модель, що має такий вигляд:

Перевірка адекватності моделі. Тестування полягає в порівнянні дисперсії розсіяння паралельних повторень дослідів (дисперсії відтворюваності) із дисперсією адекватності за допомогою F - критерію Фішера

Дисперсія адекватності являє собою розсіяння середніх значень функції відгуку yi , знайдених експериментально в j-му досліді, відносно обчислених за отриманою моделлю значень функції відгуку

для тих же умов yi . Тоді

де j — номер досліду (номер рядка в матриці експерименту); ? — число значущих коефіцієнтів полінома, з урахуванням загального середнього b0.

Якщо обчислене значення критерію Фішера менше одиниці, тобто F<1, то модель адекватно описує досліджуване явище. Якщо ж F> 1, то необхідно порівняти обчислене значення F із табличним що задається розподілом Фішера. Останнє беруть з табл. Д.6 додатка при рівні значущості ? = 0,05 для ступенів вільності чисельника та знаменника Якщо то модель вважається адекватною.

Обчислюємо за отриманою моделлю значення функції відгуку в кожному досліді уj.

Тоді дисперсія адекватності визначиться як

Враховуючи, що дисперсія відтворюваності

отримуємо таке значення критерію Фішера:

Оскільки значення критерію Фішера менше одиниці, то модель вважається адекватною. Однак часто значення критерію Фішера може перевищувати одиницю. Тоді визначається табличне значення критерію Фішера FT (див. додаток) при рівні значущості ? = 0,05 для ступенів вільності чисельника та знаменника Табличне значення FT = 3,8. Якщо то модель також вважатиметься адекватною.

Після перевірки адекватності моделі здійснюється перехід від моделі з кодованими змінними до моделі з натуральними змінними:

Перехід від лінійної моделі в логарифмічному багатофакторному просторі до загальної моделі в натуральному просторі здійснюється таким чином:

Ми розглянули приклад логарифмізації факторного простору для спрощення методики побудови в ньому лінеаризованої моделі. Очевидно, що в цьому випадку об’єм експериментальної роботи значно скоротився, тоді як обсяг обчислень зріс. Застосування стандартних програм МАТСАD та МАТLАВ дає змогу спростити обчислення. Оскільки в технології машинобудування широко використовуються степеневі залежності, то розглянутий приклад може виконувати роль методичної основи їх алгоритмізації для створення загальної універсальної програми моделювання процесів та явищ у технологічних системах механічної обробки деталей.

Прикладами можуть бути степеневі моделі для визначення залежності шорсткості поверхні, сили різання, температури різання від режимів різання та геометрії інструмента.

Економіка Маркетинг Менеджмент Фінанси Податки Культурологія
Бухгалтерський облік Політологія Страхування Політекономія Історія

загрузка...