3.5.Вдосконалення плану експерименту методами теорії подібності та аналізу розмірностей 3.5.1.Основи аналізу розмірностей фізичних величин
Об’єм експериментальної роботи, як було показано раніше, безпосередньо залежить від кількості досліджуваних факторів. Для зменшення кількості незалежних змінних досліджувані фактори та показники чи явища можуть бути згруповані в безрозмірні комбінації, загальна кількість яких буде менша ніж їх вихідна кількість. Методика побудови цих безрозмірних комбінацій ґрунтується на аналізі розмірностей змінних, що впливають на досліджуваний процес. Для цього змінні повинні бути незалежні, кількісно визначувані та мати розмірність. Визначимо основні поняття аналізу розмірностей.
Розмірними називаються величини, числові значення яких залежать від прийнятих масштабів вимірювання, тобто від системи одиниць вимірювання (довжина, маса, сила, час, енергія тощо).
Безрозмірними називаються величини, числові значення яких не залежать від прийнятих масштабів і застосованої системи одиниць вимірювання (кут у радіанах як відношення дуги до радіуса, відношення двох довжин, відношення енергії до моменту сили тощо).
Оскільки всі змінні досліджуваного явища чи процесу як фізичні величини певним чином між собою пов’язані, то частину з цих величин приймають за основні, для них встановлюють одиниці вимірювання, а одиниці решти змінних виражають через одиниці основних. Одиниці вимірювання основних величин називають основними, а решту — похідними. Розмірність похідної одиниці визначається за допомогою рівняння, яке описує її математичний зв’язок з основними одиницями, в якому коефіцієнт пропорційності відповідає одиниці. В загальному випадку вираз для похідної одиниці являє собою добуток основних величин, піднесених до певного степеня.
До основних одиниць, визначених Міжнародною системою одиниць, які використовуються в механіці, належать кілограм, метр, секунда, градус Кельвіна. Символ одиниці довжини позначають L, маси — М, температури —К, часу — T. Далі розмірність величини х будемо позначати квадратними дужками: [х]. Наприклад, одиниця швидкості визначиться таким чином:
де L, T — відповідно розмірності одиниць довжини і часу.
Визначальним рівнянням одиниці сили є другий закон Ньютона
Розмірність одиниці роботи
В основу застосування аналізу розмірностей покладено л-теорему подібності, яка формулюється таким чином:
Якщо існує однорідна відносно розмірностей залежність, що повністю описує процес або явище, у такому вигляді:
яка зв ’язує n фізичних величин за допомогою к основних одиниць, то ця залежність завжди може бути подрана як залежність між (n - k) безрозмірними комбінаціями, утвореними з цих величин,
Тут використано поняття однорідної відносно розмірностей залежності, під якою розуміють рівняння, форма якого не залежить від вибору основних одиниць вимірювання. Наприклад, запис другого закону Ньютона не залежить від вибору одиниць виміру маси рухомого тіла.
3.5.2.Методика застосування аналізу розмірностей для спрощення плану експерименту
Методику розглянемо на прикладі вдосконалення плану експериментального дослідження безконтактного контролю плоских деталей за допомогою пневматичного вимірювального приладу (рис. 3.16, в).
У вимірювальну камеру приладу через вхідний дросель із прохідним діаметром d2 надходить стиснене повітря під тиском p0. Стиснене повітря виходить через кільцевий зазор висотою h, що утворюється між вихідним дроселем з діаметром d1, та вимірюваною деталлю. Тиск на вході у прилад p0 підтримується постійним, а тиск у вимірювальній камері p1 залежатиме від висоти кільцевого зазору h. Тиск p1 вимірюють і за його значенням роблять висновок про відстань від поверхні деталі до вихідного дроселя h, а отже, про товщину деталі.
Експериментальне дослідження приладу передбачає вивчення впливу на тиск у вимірювальній камері р1 постійного вхідного тиску р0, діаметрів вхідного d2 і вихідного d1 дроселів, а також відстані h між вихідним дроселем та деталлю (рис. 3.16, а). Очевидно, вважається, що повітря є нестисним, тертя повітряних струменів у приладі відсутнє, інерційні сили при вимірюванні також відсутні. Залежність між цими - змінними невідома, тому запишемо її у загальній формі як
У найбільш загальному випадку між цими змінними існуватиме співвідношення
Розмірність усіх змінних вихідної залежності може бути виражена за допомогою трьох основних одиниць: маси М, довжини L та часу Т (табл. 3.13).
Таблиця 3.13
Рис. 3.16. Вихідна (а) і вдосконалена (б) схеми експерименту та конструкція товщиноміра (в):1 — вхідний дросель, 2 — вимірювальна камера, З — вихідний дросель, 4 — деталь
Підставимо у вихідну залежність замість змінних їх розмірності
Якщо до цього виразу висунути вимогу однорідності відносно розмірностей, як у ? - теоремі, то показники степеня в лівій та правій частинах повинні бути рівні. Тоді отримаємо
Ми отримали три рівняння із чотирма невідомими. Виключимо із системи рівнянь величини а і с. Тоді
Підставивши отримані величини у вихідну залежність, запишемо
Об’єднаємо члени із однаковими показниками степеня, що дасть змогу перейти до безрозмірних комбінацій змінних:
Такий перехід дав змогу спростити експериментальне дослідження, оскільки замість п’яти вихідних змінних в експериментальному дослідженні братимуть участь лише три безрозмірні комбінації цих величин (рис. 3.16, б). При цьому значно спрощується графічне представлення експериментальних даних (рис. 3.17).
Оцінимо отриманий результат, провівши теоретичний аналіз процесу функціонування пневматичного вимірювального пристрою при допущенні про нестисливість повітря. Витрати повітря через сопло обчислимо за формулою
деf— площа сопла; р — густина повітря.
Тоді об’єм повітря, що зайшло у вимірювальну камеру через вхідний дросель, дорівнюватиме об’єму повітря, що вийшло через кільцеву щілину вихідного дроселя, тобто
або після перетворень і скорочень отримаємо:
Залежність, отримана шляхом теоретичного аналізу процесу функціонування пневматичного товщиноміра, містить такі самі безрозмірні комбінації змінних величин, які отримані шляхом аналізу розмірностей.
Безсумнівною перевагою аналізу розмірностей є можливість його застосування в умовах невідомої залежності між змінними величинами, що описують досліджуваний процес чи явище. Врахуємо тепер, наприклад, властивість повітря стискатися при вимірюванні. З цією метою доповнимо змінні, що описують процес, такими параметрами, як густина повітря ? та прискорення Землі g. Тоді
Підставимо замість цих змінних їх розмірності:
Із умови однорідності відносно розмірностей по основних величинах М, L, Т отримаємо відповідно систему рівнянь:
Розв’яжемо її відносно а, с, е:
Підставляємо ці значення у вихідну залежність, що модифікує її таким чином:
Об’єднавши змінні з однаковими показниками, матимемо такі комбінації безрозмірних величин:
серед яких стисливість повітря враховується безрозмірною комбінацією
Таким чином, застосування методів аналізу розмірностей для дослідження процесів, що проходять у технологічних системах, створює передумови для суттєвого спрощення як об’ємів експериментальних досліджень, так і робіт з обробки їх результатів.
