загрузка...
 
3.5.Вдосконалення плану експерименту методами теорії подібності та аналізу розмірностей 3.5.1.Основи аналізу розмірностей фізичних величин
Повернутись до змісту

3.5.Вдосконалення плану експерименту методами теорії подібності та аналізу розмірностей 3.5.1.Основи аналізу розмірностей фізичних величин

Об’єм експериментальної роботи, як було показано раніше, безпо­середньо залежить від кількості досліджуваних факторів. Для зменшення кількості незалежних змінних досліджувані фактори та показники чи явища можуть бути згруповані в безрозмірні комбінації, загальна кількість яких буде менша ніж їх вихідна кількість. Методика побудови цих безрозмірних комбінацій ґрунтується на аналізі розмірностей змінних, що впливають на досліджуваний процес. Для цього змінні по­винні бути незалежні, кількісно визначувані та мати розмірність. Виз­начимо основні поняття аналізу розмірностей.

Розмірними називаються величини, числові значення яких залежать від прийнятих масштабів вимірювання, тобто від системи одиниць ви­мірювання (довжина, маса, сила, час, енергія тощо).

Безрозмірними називаються величини, числові значення яких не за­лежать від прийнятих масштабів і застосованої системи одиниць вимі­рювання (кут у радіанах як відношення дуги до радіуса, відношення двох довжин, відношення енергії до моменту сили тощо).

Оскільки всі змінні досліджуваного явища чи процесу як фізичні величини певним чином між собою пов’язані, то частину з цих величин приймають за основні, для них встановлюють одиниці вимірювання, а одиниці решти змінних виражають через одиниці основних. Одиниці вимірювання основних величин називають основними, а решту — по­хідними. Розмірність похідної одиниці визначається за допомогою рівняння, яке описує її математичний зв’язок з основними одиницями, в якому коефіцієнт пропорційності відповідає одиниці. В загальному випадку вираз для похідної одиниці являє собою добуток основних ве­личин, піднесених до певного степеня.

До основних одиниць, визначених Міжнародною системою одиниць, які використовуються в механіці, належать кілограм, метр, секунда, гра­дус Кельвіна. Символ одиниці довжини позначають L, маси — М, тем­ператури —К, часу — T. Далі розмірність величини х будемо позначати квадратними дужками: [х]. Наприклад, одиниця швидкості визначиться таким чином:

де L, T — відповідно розмірності одиниць довжини і часу.

Визначальним рівнянням одиниці сили є другий закон Ньютона

Розмірність одиниці роботи

В основу застосування аналізу розмірностей покладено л-теорему подібності, яка формулюється таким чином:

Якщо існує однорідна відносно розмірностей залежність, що пов­ністю описує процес або явище, у такому вигляді:

яка зв ’язує n фізичних величин за допомогою к основних одиниць, то ця залежність завжди може бути подрана як залежність між (n - k) без­розмірними комбінаціями, утвореними з цих величин,

Тут використано поняття однорідної відносно розмірностей залеж­ності, під якою розуміють рівняння, форма якого не залежить від вибо­ру основних одиниць вимірювання. Наприклад, запис другого закону Ньютона не залежить від вибору одиниць виміру маси рухомого тіла.

3.5.2.Методика застосування аналізу розмірностей для спрощення плану експерименту

Методику розглянемо на прикладі вдосконалення плану експеримен­тального дослідження безконтактного контролю плоских деталей за допомогою пневматичного вимірювального приладу (рис. 3.16, в).

У вимірювальну камеру приладу через вхідний дросель із прохідним діаметром d2 надходить стиснене повітря під тиском p0. Стиснене по­вітря виходить через кільцевий зазор висотою h, що утворюється між вихідним дроселем з діаметром d1, та вимірюваною деталлю. Тиск на вході у прилад p0 підтримується постійним, а тиск у вимірювальній ка­мері p1 залежатиме від висоти кільцевого зазору h. Тиск p1 вимірюють і за його значенням роблять висновок про відстань від поверхні деталі до вихідного дроселя h, а отже, про товщину деталі.

Експериментальне дослідження приладу передбачає вивчення впли­ву на тиск у вимірювальній камері р1 постійного вхідного тиску р0, діа­метрів вхідного d2 і вихідного d1 дроселів, а також відстані h між вихід­ним дроселем та деталлю (рис. 3.16, а). Очевидно, вважається, що по­вітря є нестисним, тертя повітряних струменів у приладі відсутнє, інерційні сили при вимірюванні також відсутні. Залежність між цими - змінними невідома, тому запишемо її у загальній формі як

У найбільш загальному випадку між цими змінними існуватиме співвідношення

Розмірність усіх змінних вихідної залежності може бути виражена за допомогою трьох основних одиниць: маси М, довжини L та часу Т (табл. 3.13).

Таблиця 3.13

 

Рис. 3.16. Вихідна (а) і вдосконалена (б) схеми експерименту та конструкція товщиноміра (в):1 — вхідний дросель, 2 — вимірювальна камера, З — вихідний дросель, 4 — деталь

Підставимо у вихідну залежність замість змінних їх розмірності

Якщо до цього виразу висунути вимогу однорідності відносно роз­мірностей, як у ? - теоремі, то показники степеня в лівій та правій части­нах повинні бути рівні. Тоді отримаємо

Ми отримали три рівняння із чотирма невідомими. Виключимо із системи рівнянь величини а і с. Тоді

Підставивши отримані величини у вихідну залежність, запишемо

Об’єднаємо члени із однаковими показниками степеня, що дасть змогу перейти до безрозмірних комбінацій змінних:

Такий перехід дав змогу спростити експериментальне дослідження, оскільки замість п’яти вихідних змінних в експериментальному дослід­женні братимуть участь лише три безрозмірні комбінації цих величин (рис. 3.16, б). При цьому значно спрощується графічне представлення експериментальних даних (рис. 3.17).

Оцінимо отриманий резуль­тат, провівши теоретичний ана­ліз процесу функціонування пневматичного вимірювального пристрою при допущенні про нестисливість повітря. Витрати повітря через сопло обчислимо за формулою

деf— площа сопла; р — густи­на повітря.

Тоді об’єм повітря, що зайшло у вимірювальну камеру через вхідний дросель, дорівнюватиме об’є­му повітря, що вийшло через кільцеву щілину вихідного дроселя, тобто

 

або після перетворень і скорочень отримаємо:

Залежність, отримана шляхом теоретичного аналізу процесу функці­онування пневматичного товщиноміра, містить такі самі безрозмірні ком­бінації змінних величин, які отримані шляхом аналізу розмірностей.

Безсумнівною перевагою аналізу розмірностей є можливість його застосування в умовах невідомої залежності між змінними величина­ми, що описують досліджуваний процес чи явище. Врахуємо тепер, наприклад, властивість повітря стискатися при вимірюванні. З цією метою доповнимо змінні, що описують процес, такими параметрами, як густина повітря ? та прискорення Землі g. Тоді

Підставимо замість цих змінних їх розмірності:

Із умови однорідності відносно розмірностей по основних величи­нах М, L, Т отримаємо відповідно систему рівнянь:

Розв’яжемо її відносно а, с, е:

Підставляємо ці значення у вихідну залежність, що модифікує її та­ким чином:

Об’єднавши змінні з однаковими показниками, матимемо такі ком­бінації безрозмірних величин:

серед яких стисливість повітря враховується безрозмірною комбінацією

Таким чином, застосування методів аналізу розмірностей для дос­лідження процесів, що проходять у технологічних системах, створює передумови для суттєвого спрощення як об’ємів експериментальних дос­ліджень, так і робіт з обробки їх результатів.

 


 

 



загрузка...