загрузка...
 
Розділ 4 ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ 4.1.Методи та завдання оптимізації технологічних систем
Повернутись до змісту

Розділ 4 ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ 4.1.Методи та завдання оптимізації технологічних систем

 

Сукупність варіантів технологічної системи задається математичною моделлю.

Узагальнена модель опису процесу функціонування може бути побудованою за допомогою технологічного оператора, який описує якісні зміни виробу, наприклад, поява або зникнення певного матеріалу або деталі, та кількісні зміни виробу – зміни параметрів цього матеріалу.

 

Модель такого технологічного оператора (рис. 4.1, а) опишеться за допомогою виразу

 


де Y — вектор параметрів виходу, тобто якості виконання технологічної функції-оператора; F— нелінійна вектор-функція, що зв’язує вхідні та вихідні параметри; X— вектор параметрів входу; K- вектор конструк­тивних параметрів технічного засобу, що реалізує цей технологічний оператор-функцію.

Залежно від виду технологічної операції технологічні оператори мо­жуть бути поділені на декілька типів, наприклад, оператор обробки чи переробки (рис. 4.1,б), складання (рис. 4.1, в), розділення чи фасування — дозування (рис. 4.1, г). Реальні процеси функціонування склада­тимуться із багатьох технологічних операторів. Варіанти цих процесів відрізнятимуться складом операторів, їх послідовністю у структурі про­цесу, параметрами реалізації, тобто вони утворять множину допусти­мих варіантів. Оптимальний варіант із них вибирається за певним алгоритмом, в основу якого покладено пошук найкращого значення показ­ника або показників ефективності, які називають критерієм оптимальності W.

Технологічний процес і технологічний комплекс, що його реалізує, є дискретними об’єктами, які мають певну структуру і складаються із окремих елементів, які характеризуються певними параметрами. Залеж­но від того, що буде об’єктом оптимізації — структура чи параметри, розрізняють структурну та параметричну оптимізацію.

Якщо серед варіантів структури технологічного процесу або техно­логічної системи шукають оптимальну, то таке завдання називають структурною оптимізацією. Елементами розв’язання при оптимізації будуть елементи технологічного процесу чи технологічного комплексу та зв’язки між ними. Необхідність структурної оптимізації виникає при проектуванні, яке являтиме собою оптимізаційний синтез цих об’єк­тів. Можливості побудови математичних моделей для проведення струк­турної оптимізації обмежені через складність формального опису опе­рації проектування у вигляді, доступному для аналізу математичними засобами.

Завдання знаходження оптимальних значень параметрів техноло­гічного процесу або технологічного комплексу при заданості їх струк­тури називають параметричною оптимізацією. Необхідно знайти такі значення параметрів об’єкта, при яких функція W, яку називають функцією мети або функцією ефективності, набуває екстремального значення. Необхідність проведення параметричної оптимізації виникає при експлуатації технологічних систем та проектуванні систем керу­вання ними.

Залежність критерію оптимальності від структури чи параметрів технологічної системи називають функцією оптимальності. Структура чи параметри, що відповідають оптимальному розв’язанню, називаються оптимальними.

Об’єктом оптимізації можуть виступати технологічна система або її підсистеми чи елементи — технологічний процес чи технологічний ком­плекс на відповідних ієрархічних рівнях, тобто процес-операція-перехід-прохід-дія та комплекс-машина-механізм-модуль-вузол-інстру- мент-деталь тощо.

Алгоритм оптимізації. Найбільш простим методом розв’язання задачі оптимізації технологічної системи є перебирання всіх можливих варіантів її структури та значень параметрів для кожного із варіантів. Очевидно, що при максимальній простоті цей метод вимагає значних витрат часу та коштів. Тому його застосовують лише для простих тех­нологічних об’єктів, коли кількість їх можливих варіантів суттєво обме­жена.

Частіше використовуються евристичні методи, що ґрунтуються на досвіді та кваліфікації фахівців.

Ускладнення технологічних систем, зменшення їх тиражності та розвиток обчислювальної техніки зумовили широке застосування мате­матичних методів оптимізації, побудованих на логічних процедурах аналізу вихідної моделі оптимізації, що дає змогу перебирати тільки малу частку можливих варіантів.

Математичною дисципліною, що займається побудовою, розробкою і застосуванням математичних моделей для прийняття оптимальних рі­шень, є теорія дослідження операцій. Операція — це керована система дій, об’єднаних єдиним задумом і спільною метою. При оптимізації по­казник ефективності операції W повинен мати екстремальне (максима­льне чи мінімальне) значення. Для цього будується математична модель операції, яка дає змогу обчислити показник ефективності W залежно від значень параметрів.

Розглянемо основні поняття та загальні принципи оптимізації опе­рацій, коли дія випадкових факторів до уваги не береться.

Усі фактори, від яких залежить результат операції, можуть бути поді­лені на дві групи:

елементи обмеження — задані відомі фактори  які ви­значають умови проведення операції, але керувати або змінювати які ми не можемо;

елементи розв ’язання, або елементи керування — фактори u1, u2,..., які ми можемо певним чином змінювати чи вибирати самі.

Показник ефективності операції W залежить від обох груп факторів

Тоді завдання оптимізації математично сформулюється таким чи­ном: при заданих умовах знайти такі елементи розв ’язання чи керування u1, и2, ..., які надають показнику ефективності W екст­ремальне (максимальне або мінімальне) значення

де U — множина можливих значень елементів зв’язку.

Метод пошуку оптимального розв’язання визначається особливістю функції W. Розрізняють класичні (аналітичні) та числові методи (математич­не програмування) оптимізації. Якщо показник ефективності W являє со­бою функцію з малою кількістю аргументів, яка диференціюється, то для знаходження її екстремуму застосовують аналітичні методи (методи диференційованого та варіаційного числення, метод множників Лагранжа, прин­цип максимуму Л. Понтрягіна). Функція W за відсутності обмежень дифе­ренціюється за елементами розв’язання, її похідні прирівнюються до нуля, потім розв’язується система рівнянь. Якщо функція W має аналітичний вираз зі значною кількістю змінних, то, за відсутності обмежень та її диференці­йованості, застосовуються методи варіаційного числення.

При багатьох елементах розв’язання, а також наявності числових обмежень у довільній формі, застосовуються числові методи оптимі­зації, що ґрунтуються на математичному програмуванні:

лінійне програмування використовується тоді, коли як показник ефективності W, так і обмеження мають вигляд лінійних залеж­ностей;

нелінійне програмування використовується у випадках, коли функ­ція показника ефективності W нелінійна;

динамічне програмування, яке використовується тоді, коли склад­на задача розбивається на послідовні кроки, на кожному з яких прово­диться оптимізація таким чином, щоб виграш на ньому та на всіх наступ­них кроках був найвищим.

Реальні технологічні системи функціонують в умовах дії різних збу­рень. Тому при оптимізації необхідно враховувати дію випадкових фак­торів  У цьому випадку показник ефективності стохастичної операції матиме такий вигляд:

Задача оптимізації стохастичної операції, що здійснюється в умовах певної невизначеності, формулюється таким чином.

При заданих умовах із врахуванням випадкових збурень знайти такі елементи розв 'язання u1, u2, ..., які надають показ­нику ефективності W екстремальне (максимальне або мінімальне) зна­чення W*

Історично склалося так, що математичні методи оптимізації розроб­лялись для параметричної оптимізації, тому, з одного боку, під понят­тям оптимізації часто розуміють саме параметричну оптимізацію, а з іншого — методи параметричної оптимізації, на відміну від методів структурної оптимізації, більш відомі і ширше застосовуються в прак­тичних задачах. Саме тому далі більша увага приділяється методиці структурної оптимізації.

 



загрузка...