Розділ 4 ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНИХ СИСТЕМ 4.1.Методи та завдання оптимізації технологічних систем
Сукупність варіантів технологічної системи задається математичною моделлю.
Узагальнена модель опису процесу функціонування може бути побудованою за допомогою технологічного оператора, який описує якісні зміни виробу, наприклад, поява або зникнення певного матеріалу або деталі, та кількісні зміни виробу – зміни параметрів цього матеріалу.
Модель такого технологічного оператора (рис. 4.1, а) опишеться за допомогою виразу
де Y — вектор параметрів виходу, тобто якості виконання технологічної функції-оператора; F— нелінійна вектор-функція, що зв’язує вхідні та вихідні параметри; X— вектор параметрів входу; K- вектор конструктивних параметрів технічного засобу, що реалізує цей технологічний оператор-функцію.
Залежно від виду технологічної операції технологічні оператори можуть бути поділені на декілька типів, наприклад, оператор обробки чи переробки (рис. 4.1,б), складання (рис. 4.1, в), розділення чи фасування — дозування (рис. 4.1, г). Реальні процеси функціонування складатимуться із багатьох технологічних операторів. Варіанти цих процесів відрізнятимуться складом операторів, їх послідовністю у структурі процесу, параметрами реалізації, тобто вони утворять множину допустимих варіантів. Оптимальний варіант із них вибирається за певним алгоритмом, в основу якого покладено пошук найкращого значення показника або показників ефективності, які називають критерієм оптимальності W.
Технологічний процес і технологічний комплекс, що його реалізує, є дискретними об’єктами, які мають певну структуру і складаються із окремих елементів, які характеризуються певними параметрами. Залежно від того, що буде об’єктом оптимізації — структура чи параметри, розрізняють структурну та параметричну оптимізацію.
Якщо серед варіантів структури технологічного процесу або технологічної системи шукають оптимальну, то таке завдання називають структурною оптимізацією. Елементами розв’язання при оптимізації будуть елементи технологічного процесу чи технологічного комплексу та зв’язки між ними. Необхідність структурної оптимізації виникає при проектуванні, яке являтиме собою оптимізаційний синтез цих об’єктів. Можливості побудови математичних моделей для проведення структурної оптимізації обмежені через складність формального опису операції проектування у вигляді, доступному для аналізу математичними засобами.
Завдання знаходження оптимальних значень параметрів технологічного процесу або технологічного комплексу при заданості їх структури називають параметричною оптимізацією. Необхідно знайти такі значення параметрів об’єкта, при яких функція W, яку називають функцією мети або функцією ефективності, набуває екстремального значення. Необхідність проведення параметричної оптимізації виникає при експлуатації технологічних систем та проектуванні систем керування ними.
Залежність критерію оптимальності від структури чи параметрів технологічної системи називають функцією оптимальності. Структура чи параметри, що відповідають оптимальному розв’язанню, називаються оптимальними.
Об’єктом оптимізації можуть виступати технологічна система або її підсистеми чи елементи — технологічний процес чи технологічний комплекс на відповідних ієрархічних рівнях, тобто процес-операція-перехід-прохід-дія та комплекс-машина-механізм-модуль-вузол-інстру- мент-деталь тощо.
Алгоритм оптимізації. Найбільш простим методом розв’язання задачі оптимізації технологічної системи є перебирання всіх можливих варіантів її структури та значень параметрів для кожного із варіантів. Очевидно, що при максимальній простоті цей метод вимагає значних витрат часу та коштів. Тому його застосовують лише для простих технологічних об’єктів, коли кількість їх можливих варіантів суттєво обмежена.
Частіше використовуються евристичні методи, що ґрунтуються на досвіді та кваліфікації фахівців.
Ускладнення технологічних систем, зменшення їх тиражності та розвиток обчислювальної техніки зумовили широке застосування математичних методів оптимізації, побудованих на логічних процедурах аналізу вихідної моделі оптимізації, що дає змогу перебирати тільки малу частку можливих варіантів.
Математичною дисципліною, що займається побудовою, розробкою і застосуванням математичних моделей для прийняття оптимальних рішень, є теорія дослідження операцій. Операція — це керована система дій, об’єднаних єдиним задумом і спільною метою. При оптимізації показник ефективності операції W повинен мати екстремальне (максимальне чи мінімальне) значення. Для цього будується математична модель операції, яка дає змогу обчислити показник ефективності W залежно від значень параметрів.
Розглянемо основні поняття та загальні принципи оптимізації операцій, коли дія випадкових факторів до уваги не береться.
Усі фактори, від яких залежить результат операції, можуть бути поділені на дві групи:
елементи обмеження — задані відомі фактори які визначають умови проведення операції, але керувати або змінювати які ми не можемо;
елементи розв ’язання, або елементи керування — фактори u1, u2,..., які ми можемо певним чином змінювати чи вибирати самі.
Показник ефективності операції W залежить від обох груп факторів
Тоді завдання оптимізації математично сформулюється таким чином: при заданих умовах знайти такі елементи розв ’язання чи керування u1, и2, ..., які надають показнику ефективності W екстремальне (максимальне або мінімальне) значення
де U — множина можливих значень елементів зв’язку.
Метод пошуку оптимального розв’язання визначається особливістю функції W. Розрізняють класичні (аналітичні) та числові методи (математичне програмування) оптимізації. Якщо показник ефективності W являє собою функцію з малою кількістю аргументів, яка диференціюється, то для знаходження її екстремуму застосовують аналітичні методи (методи диференційованого та варіаційного числення, метод множників Лагранжа, принцип максимуму Л. Понтрягіна). Функція W за відсутності обмежень диференціюється за елементами розв’язання, її похідні прирівнюються до нуля, потім розв’язується система рівнянь. Якщо функція W має аналітичний вираз зі значною кількістю змінних, то, за відсутності обмежень та її диференційованості, застосовуються методи варіаційного числення.
При багатьох елементах розв’язання, а також наявності числових обмежень у довільній формі, застосовуються числові методи оптимізації, що ґрунтуються на математичному програмуванні:
лінійне програмування використовується тоді, коли як показник ефективності W, так і обмеження мають вигляд лінійних залежностей;
нелінійне програмування використовується у випадках, коли функція показника ефективності W нелінійна;
динамічне програмування, яке використовується тоді, коли складна задача розбивається на послідовні кроки, на кожному з яких проводиться оптимізація таким чином, щоб виграш на ньому та на всіх наступних кроках був найвищим.
Реальні технологічні системи функціонують в умовах дії різних збурень. Тому при оптимізації необхідно враховувати дію випадкових факторів У цьому випадку показник ефективності стохастичної операції матиме такий вигляд:
Задача оптимізації стохастичної операції, що здійснюється в умовах певної невизначеності, формулюється таким чином.
При заданих умовах із врахуванням випадкових збурень знайти такі елементи розв 'язання u1, u2, ..., які надають показнику ефективності W екстремальне (максимальне або мінімальне) значення W*
Історично склалося так, що математичні методи оптимізації розроблялись для параметричної оптимізації, тому, з одного боку, під поняттям оптимізації часто розуміють саме параметричну оптимізацію, а з іншого — методи параметричної оптимізації, на відміну від методів структурної оптимізації, більш відомі і ширше застосовуються в практичних задачах. Саме тому далі більша увага приділяється методиці структурної оптимізації.