4.5. Поняття моди і медіани та їх використання в статистиці
Буває, що величина середньої не співпадає ні з одним із реально існуючих варіант. Тому в статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіант, що займають у впорядкованому ряді значень ознаки певне положення. Серед них найбільш вживаними є мода і медіана ? структурні середні.
Медіана ? варіант, розміщений в центрі впорядкованого ряду розподілу. Вона ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що по обидві сторони від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення варіюючої ознаки менше медіани, а у другої – більше. Медіана характеризує кількісну границю значень варіюючої ознаки, які мають половина одиниць сукупності.
Алгоритми знаходження медіани.
Дискретний ряд розподілу:
n – кількість членів ряду, парне число, тоді ;
n – непарне число, тоді .
Інтервальний ряд розподілу:
Визначаємо медіанний інтервал – інтервал, кумулятивна частота якого дорівнює або перевищує половину обсягу сукупності.
Кумулятивна частота характеризує обсяг сукупності із значенням варіантів, які не перевищують . Кумулятивні частоти утворюються послідовним підсумуванням абсолютних частот:
2. Обчислюємо медіану за формулою
де і – нижня межа і ширина медіанного інтервалу; ? частота медіанного інтервалу; ? кумулятивна частота перед медіанного інтервалу.
Мода ? величина ознаки, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, який в ряді розподілу має найбільшу частоту.
У дискретному ряді М0 визначається візуально за максимальною частотою.
В інтервальному ряду за найбільшою частотою визначається модальний інтервал.
Тоді ,
,
де х0 і h – нижня межа і ширина модального інтервалу; – частоти модального, перед модального та після модального інтервалу.
Крім моди та медіани в аналізі закономірностей розподілу використовують квартилі та децилі. Квартилі – це варіанти які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі – на десять рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот:
4.6. Обчислення середньої арифметичної інтервального ряду розподілу
Якщо варіаційний інтервальний ряд розподілу має відкриті інтервали, то, перш за все, їх треба закрити за розмірами інтервалів, розташованих поруч.
Знаходимо середину інтервалів: до нижньої границі інтервалу додаємо верхню і ділимо на 2.
Знаходимо середню, використовуючи замість середньої величини по кожній групі середину інтервалу.
Середня для інтервальних варіаційних рядів – величина приблизна. Це пояснюється тим, що середина інтервалу відрізняється від середнього значення, якщо варіанти в межах інтервалу розташовані нерівномірно.