3.4. Похибка середнього значення

3.4. Похибка середнього значення

Випадкову похибку можна зменшити, якщо провести не одне, а кілька вимірювань і як результат вимірювання взяти середнє значення . Вивчаючи випадкові похибки одиничних вимірювань, розглядалася велика сукупність однорідних вимірювань. Діємо так само із середніми, одержавши з досвіду велику кількість різних середніх значень однієї тієї самої вимірюваної величини. Нехай, наприклад, виконано чотири вимірювання і знайдено їхнє середнє значення . Виконавши ще чотири вимірювання, одержимо трохи інше . Зробивши таку операцію досить велику кількість раз, можна побудувати гістограму розподілу середніх значень .

Теорія дає такий зв'язок між середньою квадратичною похибкою середнього значення, середньою квадратичною похибкою одиничного вимірювання  і кількістю вимірювань n, використаних для обчислення середнього :

.                                          (3.17)

Співвідношення (3.17) має велике значення для теорії похибок. По-перше, з нього проглядається значна роль ?, від якої залежать похибки не тільки одиничного вимірювання, але й усередненого результату. По-друге, (3.17) являє собою закон зменшення випадкової похибки при зростанні кількості вимірювань. Наприклад, бажаючи зменшити похибку в 2 рази, ми повинні зробити замість одного чотири вимірювання; щоб зменшити похибку в 3 рази - 9 вимірювань, а 100 вимірювань зменшують похибку результату в 10 разів. Цей шлях зменшення випадкової похибки часто використовують на практиці. При цьому не слід забувати, що формула (3.17) справедлива тільки для випадкової складової похибки вимірювань. Систематична похибка, а також значною мірою інструментальна похибка не зменшуються при зростанні кількості вимірювань.

Таким чином, все сказане про зв'язок між довірчою ймовірністю Р(k) і похибкою ?x=k? одиничного вимірювання справедливо і для похибки  середнього. При цьому потрібно тільки замінити ? на .

Якщо як результат вимірювання береться середнє з п вимірювань, то

.                                         (3.18)

Причому напівширину довірчого інтервалу  (похибка середнього) для заданої довірчої ймовірності Р(k) можна визначити в такий спосіб.

1. Припустимо, що з великої серії певних вимірювань значення  відомо; воно характеризує похибку даного методу вимірювань. Тоді для нової серії подібних вимірювань похибка середнього значення

,                            (3.19)

де п — кількість проведених вимірювань досліджуваної величини.

2. Якщо значення  невідомо, але оброблювана серія вимірювань (х1, х2,..., хп) досить велика (n більше 10-20), то ? і , знаходять із цієї серії. Тоді

.                                   (3.20)

У такий спосіб для характеристики випадкової похибки необхідно зазначити два числа — саму похибку, тобто напівширину довірчого інтервалу ?х або , і пов'язану з нею довірчу ймовірність Р. У фізичній науковій літературі звичайно беруть Р=0,68, тобто зазначають середню квадратичну похибку.