Лекція 18 9.2.7 Метод визначення оптимальних настроювань регулятора за частотним показником коливальності (метод В. Я. Ротача)

Лекція 18 9.2.7 Метод визначення оптимальних настроювань регулятора за частотним показником коливальності (метод В. Я. Ротача)

Ідея методу полягає у виборі таких настроювань регулятора, щоб у найбільшій мірі наблизити АЧХ реальної системи управління до АЧХ ідеальної системи, яка є ідеальним фільтром, що не пропускає збурювальні (високочастотні) впливи і пропускає управляючі (низькочастотні). Як критерій оцінки якості береться частотний показник коливальності, однозначно пов'язаний із запасом стійкості і мірою загасання перехідного процесу системи.

Поняття частотного показника коливальності системи. Відомо (див. лекцію 15), що відповідно до критерію Найквіста динамічна система, стійка в розімкненому стані, стає нестійкою після замикання негативним зворотним зв'язком, якщо АФЧХ розімкненої  системи   охоплює  точку  з  координатами  [-1;j0]. Чим далі від зазначеної «небезпечної» точки (управо, у бік початку координат) розміщується частотна характеристика, тим більший запас стійкості має система, а це безпосередньо пов'язано зі збільшенням міри загасання перехідних процесів і величиною (чи наявністю) резонансного піку модуля АФЧХ замкнутої системи (див. лекцію 12). Покажемо це.

Модуль АФЧХ замкнутої системи  може бути виражений як

.                               (9-20)

Чисельник виразу (9-20) для деякої фіксованої частоти  (рис. 9.11а) дорівнює довжині вектора  частотної характеристики , а знаменник - довжині вектора ,

проведеного до  з точки [-1; j0] (як різниця двох векторів; ОВ=-1). Звідси модуль АФЧХ замкнутої системи можна визначити як відношення довжин відрізків ОА і АВ:

.                               (9-21)

Оскільки більшість промислових регуляторів використовують інтегральну складову від помилки неузгодження (І-складову), то при  АФЧХ розімкненої системи йде у нескінченність, а відношення (9.21) - до одиниці. Хоча при зміні частоти від нуля до  відношення (9-21) прямує до нуля, характер його зміни залежить від близькості АФЧХ від «небезпечної» точки [-1; j0]. Якщо АФЧХ розміщується досить далеко від цієї точки, то довжина відрізка АВ при русі уздовж кривої за стрілкою завжди більше довжини ОА, і тому відношення (9-21) із зростанням частоти зменшується монотонно. Це відповідає АЧХ, зображеній кривій 1 на рис. 9.11б. Якщо ж АФЧХ наближається досить близько до «небезпечної» точки, то в певному діапазоні частот  відношення (9-21) збільшуватиметься, що відповідає появі на АЧХ замкнутої системи резонансного піку на деякій частоті  (крива 2 на рис. 9.11б). Причому з побудови (рис. 9.11а) видно, що величина піку збільшуватиметься у міру наближення  до точки [-1; j0] і досягне максимуму (розриву безперервності) у момент втрати замкнутою системою стійкості (через ділення на нуль).

З наведених міркувань виходить, що величина резонансного піку модуля АЧХ замкнутої системи може бути зручною мірою запасу стійкості системи.

Якщо знайти вираз для визначення геометричного місця точок, де

,                              (9-22)

тобто є однаковий запас стійкості, то можна визначити обмеження, що накладаються на розташування АФЧХ розімкненої системи  на комплексній площині, такі, що задовольняють цю умову.

З рис. 9.11а безпосередньо випливає  і  (теорема Піфагора). Тому, підставивши ці формули в (9-22) і піднісши до квадрату, отримаємо

.                            (9-23)

Після нескладних перетворень перепишемо вираз (9-23) у вигляді

.                         (9-24)

Отримане рівняння є рівнянням кола з радіусом , центр якого лежить на від'ємній дійсній півосі на відстані  від початку координат. Таким чином, щоб резонансний пік модуля АЧХ замкнутої системи не перевищував деякої наперед заданої величини, що відповідає , необхідно, щоб АФЧХ розімкненої системи  не заходила всередину «забороненої» області, обмеженої колом із параметрами  і . Для різних значень  можна побудувати сімейство кіл, які вироджуються в пряму лінію при  і в точку на осі при  (див. рис. 9.12).

У лекції 17 (п. 9.2.6) вже обговорювалося питання зв'язку міри загасання перехідного процесу, що визначається як величина відносного зменшення амплітуди за один період (див. 9-16), з показником коливальності m для систем другого порядку. Для такої ланки також існує однозначний зв'язок (без доведення) і між максимумом модуля частотної характеристики, віднесеним до її значення при нульовій частоті , і мірою загасання перехідного процесу ?. Відношення  дістало назву частотного показника коливальної системи. При  частотний показник коливальності повністю збігається з величиною . У таблиці 9.2 наведено залежність між мірою загасання і показником коливальності  для систем другого порядку.

Таблиця 9.2 - Залежність між мірою загасання ? і показником коливальності

Таким чином, показник коливальності системи  може бути використаний як критерій оцінки якості при виборі настроювань регулятора.

Методика графоаналітичного методу визначення настроювань регулятора за показником коливальності.

Вихідними даними для розрахунку є частотні характеристики об'єкта і необхідна (задана) міра загасання перехідного процесу ?.

Відповідно до прийнятого критерію розрахунок настроювань регулятора виконується в два етапи:

На першому етапі в просторі варійованих параметрів настроювань регулятора визначається межа області, в якій замкнута система управління матиме запас стійкості не нижче заданого показником коливальності . При цьому вважається, що САУ має необхідний запас стійкості, якщо її показник коливальності знаходиться в діапазоні , що відповідає ступеню загасання ?=0,95...0,75 (рекомендується брати М=1,6).

На другому етапі у знайденій області (чи на її межі) відшукується точка, що відповідає мінімуму помилки регулювання, тобто мінімуму відхилення частотних характеристик реальної системи від ідеальної. Ідеальною системою вважається така, яка має властивості ідеального фільтра, тобто в усьому діапазоні частот її АЧХ стосовно збурювальних дій дорівнює нулю (), а по відношенню до сигналу управління - одиниці (). Оскільки в реальній системі виконання умови  добитися практично неможливо, то параметри настроювання вибираються такими, щоб система інтенсивно фільтрувала (пригнічувала) «небезпечні» гармоніки. А оскільки виробничі об'єкти є низькочастотними фільтрами, то доцільно забезпечити наближення частотних характеристик в околі точки з нульовою частотою.

Виконання першого етапу зручно робити графоаналітичним методом: будується АФЧХ розімкненої системи  і знаходяться такі параметри настроювань регулятора, при яких ця характеристика торкатиметься кола для заданого значення . При цьому варійованим параметром береться коефіцієнт передачі регулятора  (у разі декількох параметрів настроювання процедура розрахунку залишається такою самою, проте змінюється обсяг обчислень через необхідність визначення найкращого значення  для декількох фіксованих значень інших параметрів настроювань).

Порядок визначення граничного значення коефіцієнта  може бути істотно спрощений, якщо врахувати, що зміна  приводить тільки до пропорційної зміни довжини модуля вектора , тобто, по суті, до зміни масштабу по осях у зворотній пропорції до величини . У той самий час при такій зміні масштабу також зміщуватиметься і коло для заданого  (через пропорційну зміну  і ), але при цьому воно буде залишатися дотичним до деякої прямої ОЕ, проведеної з початку координат (див. рис. 9.13), під кутом

. (9-25)

З урахуванням останньої обставини визначення граничного значення коефіцієнта передачі регулятора , при якому станеться торкання АФЧХ розімкненої системи до кола із заданим  при фіксованих значеннях інших параметрів настроювання, виконується в такому порядку:

Частотна передаточна функція регулятора записується у вигляді , де  - частотна передаточна функція регулятора при значенні коефіцієнта передачі . За заданою передаточною функцією об'єкта управління  на комплексній площині будується АФЧХ розімкненої системи при одиничному коефіцієнті передачі регулятора і деяких фіксованих значеннях інших настроювань:

.                  (9-26)

З початку координат проводиться пряма ОЕ (рис. 9.13) під кутом, що визначається виразом (9-25).

Креслимо коло з центром на від'ємній дійсній півосі, яке торкалося б одночасно як АФЧХ , так і прямої ОЕ.

Відношення необхідного радіуса кола  (див. 9-24) до отриманого значення радіуса  при побудові показує, у скільки разів необхідно змінити коефіцієнт передачі регулятора  для забезпечення заданого показника . Звідси граничне значення коефіцієнта передачі регулятора

.                                (9-27)

Замість радіуса кола можна аналогічно використати координати його центра.

За наявності двох параметрів настроювань регулятора (наприклад,  і  для ПІ-регулятора) визначення  виконується для різних значень , після чого в просторі двох параметрів будується границя області з необхідним запасом стійкості (рис. 9.14).

Другий етап. Доведено, що оптимальними по мінімуму середньоквадратичної помилки регулювання настроюваннями (при низькочастотних збуреннях) будуть такі настроювання, при яких система із заданим показником коливальності матиме найбільший коефіцієнт при інтегральній складовій, чому відповідає виконання умови . Ця умова виконується в точці А, в якій пряма з кутовим коефіцієнтом , що виходить з початку координат, торкається до границі області з необхідним запасом стійкості.