Лекція 19 9.4 Методи структурно-параметричного синтезу 9.4.1 Синтез системи управління методом ЛАЧХ

Лекція 19 9.4 Методи структурно-параметричного синтезу 9.4.1 Синтез системи управління методом ЛАЧХ

Частотні характеристики системи дають достатньо інформації про якість перехідних процесів у системах управління (див. лекцію 12). Зокрема, за логарифмічною амплітудною частотною характеристикою (ЛАЧХ) розімкненої мінімально-фазової системи можна досить точно оцінити статичну і динамічну точність, міру коливальності, швидкодію і перерегулювання перехідного процесу у разі її замикання одиничним від'ємним зворотним зв'язком. Таким чином, основні прямі показники якості проектованої системи визначають необхідну форму і параметри частотних характеристик.

Формування необхідних частотних характеристик замкнутої системи, а отже, і розв’язання задачі синтезу може бути досягнуте шляхом введення в систему послідовних коригувальних ланок, що видозмінюють її динамічні властивості.

Простота побудови асимптотичних ЛАЧХ стала причиною значного поширення в інженерній практиці методів синтезу, що ґрунтуються на використанні логарифмічних характеристик. І навіть у сучасних умовах ця група методів, незважаючи на деяку архаїчність графоаналітичних розрахунків, знаходить достойне застосування.

Ідея методів ЛАЧХ при послідовній корекції полягає у такому (див. рис 9.15). За заданою (відомою) логарифмічною частотною характеристикою незмінної частини системи управління (об'єкта управління), яка при одиничному зворотному зв'язку становить, по суті, розімкнену систему, і сформованою на основі заданих вимог до якості перехідних процесів «бажаною» ЛАЧХ розімкненого контуру  шукана логарифмічна характеристика коригуючої ланки  визначається виразами

,           (9-34,а)

.           (9-34,б)

Таким чином, синтез системи управління зводиться до підбору динамічної ланки з частотними характеристиками  з подальшим визначенням його параметрів.

Усі викладені нижче методи синтезу застосовуються лише для систем мінімально-фазового типу, що дозволяє усі побудови робити, використовуючи тільки ЛАЧХ розімкненої системи, а ЛФЧХ використовувати лише для контролю.

Припускаємо, що передаточна функція об'єкта управління (незмінної частини) представлена у вигляді відношення двох поліномів  і  з вільними членами, що дорівнюють одиниці, коефіцієнтом посилення  і порядком астатизму :

.       (9-35)

«Бажану» ЛАЧХ будують на підставі вимог, що висуваються до властивостей системи. Вимоги до статичних властивостей задають у вигляді порядку астатизму  і передаточного коефіцієнта (добротності)  розімкненої системи. Іноді для систем з астатизмом першого порядку задають коефіцієнти помилок С0 і С1. Вимоги до динамічних властивостей системи визначаються допустимими значеннями перерегулювання ? і часу регулювання tp. Іноді додатково задається обмеження у вигляді максимально допустимого прискорення  регульованої величини при заданому початковому неузгодженні між фактичним і заданим значеннями вихідного сигналу .

Порядок синтезу систем управління методом ЛАЧХ такий:

Будується асимптотична ЛАЧХ незмінної частини розімкненої системи  на підставі передаточної функції (9-35). Заздалегідь кожен із поліномів  і  необхідно розкласти на співмножники виду  і , де . У процесі розкладання серед співмножників можуть виявитися такі, що мають дуже малі сталі часу , де  - частота зрізу незмінної частини системи. Їх вплив на властивості системи незначний і при побудові характеристики  такими співмножниками можна знехтувати. Приблизний вид асимптотичної ЛАЧХ незмінної частини системи показаний на рис. 9.15.

Будується «бажана» асимптотична ЛАЧХ розімкненої системи , яка забезпечує необхідні («бажані») статичні і динамічні властивості замкнутої системи. Для кожного конкретного варіанта методу синтезу цей етап має свої особливості, проте загальними для них усіх є розділення ЛАЧХ на три ділянки: низькочастотну, середньочастотну і високочастотну, та набір вимог, що висуваються до цих ділянок.

Низькочастотна частина «бажаної» ЛАЧХ визначає статичну точність системи - точність в усталеному режимі. У статичній системі низькочастотна асимптота паралельна осі абсцис (частот). У астатичних системах нахил цієї асимптоти становить «мінус » дБ/дек, де  - порядок астатизму (=1,2,…). Ордината низькочастотної асимптоти  при  визначається значенням передаточного коефіцієнта  розімкненої системи. Якщо передаточна функція розімкненої системи (9-35) має передаточний коефіцієнт  і порядок астатизму , які задовольняють вимоги до створюваної системи, то низькочастотна асимптота «бажаної» ЛАЧХ  збігається з низькочастотною асимптотою незмінної ЛАЧХ . Чим ширша низькочастотна частина , тим більше високих частот відтворюється системою без помітного послаблення.

Середньочастотна частина «бажаної» ЛАЧХ і її поєднання з низькочастотною є найбільш важливими, оскільки вони визначають динамічні властивості системи - стійкість, запас стійкості і, отже, якість перехідного процесу. Саме ця частина ЛАЧХ найчастіше змінюється.

Із середньочастотною частиною ЛАЧХ пов'язано поняття області значущих частот як тієї частини частотної характеристики, що в основному визначає динамічні властивості системи і за межами якої характер поведінки частотної характеристики вже не має помітного впливу. Діапазон області значущих частот визначається з таких міркувань:

нижня частота  визначається статичною точністю  при дії ступінчастого впливу, що відповідає рівню сигналу приблизно плюс 26 дБ. Лівіше за цю частоту ЛАЧХ повинна мати ординату не менше 26 дБ, якщо не потрібний астатизм, або нахил залежно від порядку астатизму;

верхня частота  визначається необхідністю продавлення високочастотних складових перехідного процесу у вихідному сигналі до 10% від рівня вхідного сигналу, що відповідає рівню сигналу приблизно мінус 16 дБ.

Основні параметри середньочастотної асимптоти «бажаної» ЛАЧХ - це її нахил і частота зрізу . Чим більший нахил середньочастотної асимптоти (крутизна АЧХ в області частоти зрізу), тим важче технічно забезпечити добрі динамічні властивості системи. Найбільш прийнятним вважається нахил мінус 20 дБ/дек, рідше використовується нахил мінус 40 дБ/дек. Частота зрізу  визначає швидкодію системи. Чим вона більша, тим вища швидкодія і тим менший час перехідного процесу .

Високочастотна частина «бажаної» ЛАЧХ мало впливає на динамічні властивості системи. Бажано в цій області мати, як можна більший нахил асимптот, що зменшує вимоги до необхідного запасу потужності виконавчого механізму і зменшує вплив високочастотних перешкод, проте це може ускладнити передаточну функцію коригуючого пристрою. На практиці нахил асимптот «бажаної» ЛАЧХ у високочастотній області вибирають збіжним з нахилом . У деяких випадках при розрахунках високочастотну частину ЛАЧХ взагалі не беруть до уваги.

При побудові «бажаної» ЛАЧХ важливо, щоб вона забезпечила необхідний запас стійкості в області частоти зрізу системи. Для цього використовують спеціальні номограми або виконують розрахунки з використанням ЛФЧХ.

Визначається передаточна функція коригуючого пристрою , який необхідно включити у прямий ланцюг системи управління для забезпечення їй необхідних властивостей. Ця операція може бути виконана двома способами:

спочатку графічно (відніманням безпосередньо на графіку ЛАЧХ відповідно до виразу (9-34а)) будується ЛАЧХ коригуючого пристрою  і за її виглядом складається вираз передаточної функції ;

за видом «бажаної» ЛАЧХ  формується передаточна функція , що їй відповідає, після чого визначається передаточна функція  із співвідношення

.          (9-36)

Вибирається (з довідкової літератури) або розраховується схема фізичної реалізації отриманої передаточної функції (якщо використовується мікропроцесорна система управління, то на цьому етапі складається комп’ютерна програма реалізації синтезованого закону).

Завершує процедуру синтезу перевірочний розрахунок або моделювання перехідних процесів у скоригованій системі з використанням одного з доступних комп'ютерних засобів для перевірки на відповідність заданим показникам якості. Якщо в результаті моделювання буде виявлена невідповідність фактичних показників якості заданим, виконується коригування «бажаної» асимптотичної ЛАЧХ розімкненої частини системи і повторюються розрахунки за п.2 - 5.

Для будь-якого із методів синтезу, що ґрунтуються на використанні ЛАЧХ, усі пункти викладеної методики, окрім другого, ідентичні. Різні підходи до побудови «бажаної» асимптотичної ЛАЧХ породжують різні варіації методу, деякі з яких будуть розглянуті нижче.

Побудова «бажаної» ЛАЧХ за В.В. Солодовниковим

Методика побудови «бажаної» ЛАЧХ за В. В. Солодовниковим базується на зв'язку показників якості перехідного процесу з видом деякої типової (еталонної) дійсної амплітудно-частотної характеристики (ДАЧХ) замкнутої системи і ЛАЧХ розімкненої системи, що відповідає їй.

Якщо взяти як еталонну просту прямокутну трапецеїдальну ДАЧХ (див. рис.9.16а), то криві перехідного процесу h(t) при різних коефіцієнтах нахилу  і частоті позитивності  матимуть вигляд, поданий на рис. 9.16б. З останньої ілюстрації видно, що для трапецеїдальних ДАЧХ із коефіцієнтом нахилу  отримуються добрі перехідні процеси, які і можуть бути взяті як еталонні.

Проте в реальних системах використати типові ДАЧХ такого простого виду досить проблематично, тому в даному методі як еталонна вибрана складніша трапецеїдальна ДАЧХ, зображена на рис. 9.17. Параметри такої ДАЧХ: максимальне значення амплітуди , основний коефіцієнт нахилу , коефіцієнт форми  і додатковий коефіцієнт нахилу . Такій дійсній частотній характеристиці відповідає перехідна характеристика, показники якості якої можуть бути приблизно визначені за спеціальними номограмами (детально будуть розглянуті на практичному зайнятті) залежно від частоти зрізу розімкненої системи . Ці номограми і використовуються в процесі побудови «бажаної» ЛАЧХ.

Порядок побудови «бажаної» ЛАЧХ за В. В. Солодовниковим при цьому такий:

Вибирають частоту зрізу системи  таку, щоб задовольнялася нерівність

,            (9-37)

де  - значення мінімально і максимально допустимої частоти зрізу. Тут  визначає частоту зрізу, при якій час регулювання не перевищить заданого значення tр. Вона находиться за номограмами (див. додаток В, рис. В.1) [17]. Спочатку за заданим значенням перерегулювання  за допомогою кривої  знаходиться відповідне йому значення , за яким за допомогою другої кривої  визначають значення часу перехідного процесу , виражене через частоту зрізу  співвідношенням . Оскільки  задане, то з рівняння  просто визначається мінімальна частота зрізу, що йому відповідає:

.  (9-38)

Верхнє обмеження частоти зрізу  у рівнянні (9-37) визначається з умови допустимого максимального прискорення регульованої координати  при заданому початковому неузгодженні на вході  (наприклад, обмеження на максимальний допустимий струм виконавчого механізму і тому подібне). Якщо таке обмеження існує, то частота зрізу системи не повинна перевищувати величини

.          (9-39)

Якщо  чи коли обмеження на  не задане, то частоту зрізу вибирають з умови забезпечення заданого часу перехідного процесу, тобто . Інакше доводиться йти на погіршення показника  з метою забезпечення безпеки роботи, тобто припускати, що .

Будується середньочастотна асимптота. Її проводять через точку вибраної частоти зрізу  на осі абсцис із нахилом мінус 20 Дб/дек. Якщо в результаті виконаних розрахунків не вдасться отримати необхідну якість перехідного процесу, то одним із можливих засобів коригування може бути вибір більшої крутизни середньочастотної асимптоти.

Визначається протяжність середньочастотної асимптоти виходячи з вимог необхідного запасу стійкості і виконується сполучення її з низькочастотною асимптотою. Для цього за спеціальною номограмою (див. додаток В, рис. В.2) з урахуванням визначеного раніше значення  знаходиться мінімально необхідний запас стійкості по фазі (надлишок фази) , який має бути забезпечений у результаті синтезу на ділянці , для якого виконується умова

,     (9-40)

де  - гранична величина логарифмічних амплітуд. Наявність необхідного надлишку фази за умови (9-40) означає, що «бажаній» ЛАЧХ відповідає типова ДАЧХ (рис. 9.17) і справедливі використовувані номограми. Для визначення фактичного надлишку фази використовують або побудову ЛФЧХ у тому діапазоні частот, що нас цікавить, або спрощені наближені методи.

Якщо при вибраній частоті сполучення асимптот надлишок фази виявляється меншим, ніж , то асимптоту, що сполучає, потрібно змістити вліво або зменшити її нахил. Якщо надлишок фази значно перевищує потрібний, то можна асимптоту, що сполучає, змістити управо або збільшити її нахил.

У цілому при виконанні сполучення намагаються, щоб «бажана» ЛАЧХ як можна менше відрізнялася від ЛАЧХ незмінної частини.

Виконується сполучення середньочастотної асимптоти з високочастотною частиною ЛАЧХ. При цьому необхідно дотримуватися правил, аналогічних викладеним у п. 3 наведеного вище порядку побудови.

Побудова «бажаної» ЛАЧХ за номограмами

У цьому випадку для побудови «бажаної» ЛАЧХ використовуються чотири типи розімкненої астатичної ЛАЧХ (див. додаток В). Кожна типова ЛАЧХ повністю визначається чотирма параметрами: передаточним коефіцієнтом  розімкненої системи (добротністю за швидкістю) і з’єднувальними частотами

               (9-41)

Для усіх чотирьох типових ЛАЧХ складені номограми (приклади наведені в додатку В, рис. В.3), які за зазначеними вище параметрами дозволяють визначити основні динамічні характеристики замкнутої системи, що відповідає їм.

Побудова «бажаної» ЛАЧХ за Санковским - Сигаловим

Тут для синтезу можна використати дев'ять типів ЛАЧХ розімкненої системи, запропонованих авторами [17]. Форми типових асимптотичних ЛАЧХ і передаточні функції, що відповідають їм, наведені в додатку Г. Там же наводиться зв’язок частоти зрізу  із передаточним коефіцієнтом  розімкненої системи і сполучними частотами.

При виборі типу ЛАЧХ автори рекомендують дотримуватися таких міркувань:

якщо сигнал завдання змінюється з великим прискоренням, а рівень перешкод малий, то вибираються ЛАЧХ типу 1 або 2;

якщо сигнал завдання змінюється з невеликим прискоренням, а рівень перешкод великий, то вибираються ЛАЧХ типу 3, 4 або 5;

якщо сигнал завдання змінюється з великим прискоренням і високий рівень перешкод, то вибираються ЛАЧХ типу 6 - 9.

Для виконання синтезу системи за заданими показниками якості авторами запропоновано ряд емпіричних співвідношень, що зв’язують ці показники з параметрами ЛАЧХ.